Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- calc:vector [2021/02/18 09:35]
root
+++ calc:vector [2022/08/10 23:55] (текущий)
root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 <div slide>
-====== Основные операции линейной алгебры в numpy ======
-==== Операции над векторами ====
-Положим что одномерные массивы ''a'' и ''b'' являются векторами в трехмерном пространстве:
-<sxh python>
-import numpy as np
-a = np.array([1,1,1])
-b = np.array([2,-1,3])
-</sxh>
-^ Операция ^ Запись ^ Результат ^
-| Длина вектора | ''np.linalg.norm(a)'' | ''1.7320508075688772'' |
-| Произведение вектора на скаляр | ''2*a'' | ''array([2, 2, 2])'' |
-| Сумма векторов | ''a + b'' | ''array([3, 0, 4])'' |
-| Скалярное произведение | ''np.dot(a,b)'' | ''4'' |
-| Векторное произведение | ''np.cross(a,b)'' | ''array([ 4, -1, -3])'' |
-</div><div slide>
-==== Операции над матрицами ====
-Положим, что ''a'' — вектор, а ''M'' — матрица в трехмерном пространстве.
-<sxh python>
-import numpy as np
-a = np.array([1,1,1])
-M = np.array([[1,0,1],[2,1,-1],[-1,0,-3]])
-</sxh>
-^ Операция ^ Запись ^ Результат ^
-| Определитель | ''np.linalg.det(M)'' | ''-2.0'' |
-| След | ''np.trace(M)'' | ''-1'' |
-| Форма | ''M.shape'' | ''(3, 3)'' |
-| Векторно-матричное умножение | ''np.matmul(a, M)'' |''array([ 2,  1, -3])'' |
-| Матричное умножение | ''np.matmul(M,M)'' |''%%array([[ 0,  0, -2], [ 5,  1,  4], [ 2,  0,  8]])%%'' |
-| Обратная матрица | ''np.linalg.inv(M)'' | ''%%array([[ 1.5,  0. ,  0.5], [-3.5,  1. , -1.5], [-0.5,  0. , -0.5]])%%'' |
-| Собственные числа и собственные векторы | ''np.linalg.eig(M)'' | ''%%(array([ 1.        ,  0.73205081, -2.73205081]), array([[ 0.        ,  0.11727205, -0.2405126 ], [ 1.        , -0.99260257,  0.36940291], [ 0.        , -0.03142295,  0.89760524]]))%%'' |
-| Транспонирование | ''M.T'' | ''%%array([[ 1,  2, -1], [ 0,  1,  0], [ 1, -1, -3]])%%'' |
-| Нулевая матрица | ''%%np.zeros((3,3))%%'' | ''%%array([[0., 0., 0.], [0., 0., 0.], [0., 0., 0.]])%%'' |
-| Единичная матрица | ''np.eye(3)'' | ''%%array([[1., 0., 0.], [0., 1., 0.], [0., 0., 1.]])%%'' |
-</div><div slide>
-==== Вращение координат ====
-Вращение координат удобно задавать в виде матрицы поворота с помощью модуля ''scipy.spatial.transform''
-<sxh python>
-from scipy.spatial.transform import Rotation
-#Вращение на 90 градусов вокруг оси X
-MRot = Rotation.from_euler('x', [np.pi/2]).as_dcm()
-#Для новых версий:
-MRot = Rotation.from_euler('x', [np.pi/2]).as_matrix()
-a = np.array([1,1,1])
-rot_a = np.matmul(a, MRot)
-</sxh>
-</div><div slide>
 ===== Функция на сетке =====
-Важная особенность ''np.array'' — возможность обходиться при вычислении значения функции без циклов.
+Важная особенность ''np.array'' — возможность обходиться при вычислении значения функции **без циклов**.
 <sxh python>
@@ Строка 80: / Строка 14: @@
 p = np.linspace(5,9,3)
-v = f (s,p)
+v = f (s,p) # Функция f была применена поэлементно
 # v == array([  33.,   66.,  117.])
 S, P = np.meshgrid(s,p,indexing='ij')
-v = f (S,P)
+v = f (S,P) # Функция f была применена для каждой пары из s и p
 # array([[ 33.,  45.,  57.],
 #       [ 54.,  66.,  78.],
@@ Строка 115: / Строка 49: @@
 Объект ''FinDiff'' реализует дифференциальный оператор, аргументы: ''0'' — по первой оси, ''dx'' — размер шага, ''1'' — первая производная.
-''df_dx'' — массив ''np.array'' со значениями производной ''f'' в узлах сетки.
+''df_dx'' — массив ''np.array'' со значениями производной ''f'' в узлах сетки. Модуль ''findiff'' не изменяет размер массива т.к. на краях применяется схема дифференциирование вперед или назад соответственно, а по остальному объему массива используется центральная схема.
 </div><div slide>
@@ Строка 130: / Строка 64: @@
 </div><div slide>
+==== В 2D задаче  ====
+<sxh python>
+import numpy as np
+from findiff import Gradient, Divergence, Laplacian
+import matplotlib.pyplot as plt
+#%%
+borders = [-2*np.pi, 2*np.pi, -2*np.pi, 2*np.pi]
+x = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 30)
+dx = x[1]-x[0]
+y = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 30)
+dy = y[1]-y[0]
+X, Y = np.meshgrid(x, y, indexing='ij')
+f = Y*np.sin(X) + np.cos(Y)
+#%%
+plt.imshow(f.T,  origin='lower', extent=borders)
+contours = plt.contour(X, Y, f,  origin='lower', colors = 'r')
+plt.clabel(contours, colors = 'r')
+plt.show()
+#%%
+grad = Gradient(h=[dx, dy])
+grad_f = grad(f)
+plt.imshow(f.T ,  origin='lower', extent=borders)
+plt.colorbar()
+plt.quiver(X,Y,grad_f[0],grad_f[1])
+plt.show()
+#%%
+u = np.array((X**2-Y**2, Y**2-X))
+div = Divergence(h=[dx, dy])
+div_u = div(u)
+plt.imshow(div_u.T,origin='lower', extent=borders)
+plt.colorbar()
+plt.quiver(X,Y,u[0],u[1])
+plt.show()
+</sxh>
+== Скалярная функция f и ее изолинии ==
+{{:calc:f_foo.png?400|Скалярная функция f и ее изолинии}}
+== Скалярная функция f и ее градиент ==
+{{:calc:f_grad_foo.png?400|Скалярная функция f и ее градиент}}
+== Векторная функция u и ее дивергенция ==
+{{:calc:f_div_foo.png?400|Векторная функция u и ее дивергенция}}
+</div><div slide>
+==== В 3D задаче  ====
 <sxh python>
 import numpy as np