Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- calc:vector [2021/02/10 15:34]
root [Операции над матрицами]
+++ calc:vector [2022/08/10 23:55] (текущий)
root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-====== Основные операции линейной алгебры в numpy ======
+<div slide>
-==== Операции над векторами ====
+===== Функция на сетке =====
-Положим что одномерные массивы ''a'' и ''b'' являются векторами в трехмерном пространстве:
+Важная особенность ''np.array'' — возможность обходиться при вычислении значения функции **без циклов**.
 <sxh python>
 import numpy as np
-a = np.array([1,1,1])
+def f(x,y):
-b = np.array([2,-1,3])
+    return x**2+2*x+6*y
+s = np.linspace(1,7,3)
+p = np.linspace(5,9,3)
+v = f (s,p) # Функция f была применена поэлементно
+# v == array([  33.,   66.,  117.])
+S, P = np.meshgrid(s,p,indexing='ij')
+v = f (S,P) # Функция f была применена для каждой пары из s и p
+# array([[ 33.,  45.,  57.],
+#       [ 54.,  66.,  78.],
+#       [ 93., 105., 117.]])
 </sxh>
-^ Операция ^ Запись ^ Результат ^
-| Длина вектора | ''np.linalg.norm(a)'' | ''1.7320508075688772'' |
-| Произведение вектора на скаляр | ''2*a'' | ''array([2, 2, 2])'' |
-| Сумма векторов | ''a + b'' | ''array([3, 0, 4])'' |
-| Скалярное произведение | ''np.dot(a,b)'' | ''4'' |
-| Векторное произведение | ''np.cross(a,b)'' | ''array([ 4, -1, -3])'' |
-==== Операции над матрицами ====
+В случае простой подстановки ''f (s,p)'' будет массивы будут подставлены поэлементно. В случае подстановки с использованием ''meshgrid'' из массивов будет построена сетка, в узлах которой будут пары элементов и функция будет рассчитана для каждого элемента сетки.
-Положим, что ''a'' — вектор, а ''M'' — матрица в трехмерном пространстве.
+</div><div slide>
+===== Дифференциальные операторы на сетке =====
+Для расчетов производных на сетке будем использовать модуль ''findiff''<sup>pip</sup> ([[https://findiff.readthedocs.io|документация]]).
 <sxh python>
 import numpy as np
+from findiff import FinDiff
-a = np.array([1,1,1])
+x = np.linspace(0, 10, 100)
-M = np.array([[1,0,1],[2,1,-1],[-1,0,-3]])
+dx = x[1] - x[0]
+f = np.sin(x)
+d_dx = FinDiff(0, dx, 1)
+df_dx = d_dx(f)
 </sxh>
-^ Операция ^ Запись ^ Результат ^
+</div><div slide>
-| Определитель | ''np.linalg.det(M)'' | ''-2.0'' |
-| След | ''np.trace(M)'' | ''-1'' |
+Объект ''FinDiff'' реализует дифференциальный оператор, аргументы: ''0'' — по первой оси, ''dx'' — размер шага, ''1'' — первая производная.
-| Форма | ''M.shape'' | ''(3, 3)'' |
-| Векторно-матричное умножение | ''np.matmul(a, M)'' |''array([ 2,  1, -3])'' |
+''df_dx'' — массив ''np.array'' со значениями производной ''f'' в узлах сетки. Модуль ''findiff'' не изменяет размер массива т.к. на краях применяется схема дифференциирование вперед или назад соответственно, а по остальному объему массива используется центральная схема.
-| Матричное умножение | ''np.matmul(M,M)'' |''%%array([[ 0,  0, -2], [ 5,  1,  4], [ 2,  0,  8]])%%'' |
-| Обратная матрица | ''np.linalg.inv(M)'' | ''%%array([[ 1.5,  0. ,  0.5], [-3.5,  1. , -1.5], [-0.5,  0. , -0.5]])%%'' |
+</div><div slide>
-| Собственные числа и собственные векторы | ''np.linalg.eig(M)'' | ''%%(array([ 1.        ,  0.73205081, -2.73205081]), array([[ 0.        ,  0.11727205, -0.2405126 ], [ 1.        , -0.99260257,  0.36940291], [ 0.        , -0.03142295,  0.89760524]]))%%'' |
-| Транспонирование | ''M.T'' | ''%%array([[ 1,  2, -1], [ 0,  1,  0], [ 1, -1, -3]])%%'' |
+==== Дифференциальные операторы модуля findiff  ====
-| Нулевая матрица | ''%%np.zeros((3,3))%%'' | ''%%array([[0., 0., 0.], [0., 0., 0.], [0., 0., 0.]])%%'' |
-| Единичная матрица | ''np.eye(3)'' | ''%%array([[1., 0., 0.], [0., 1., 0.], [0., 0., 1.]])%%'' |
+^ Название ^ Значение ^ Запись ^ Вход ^ Выход ^
+| FinDiff | дифференциал | d/dx | скалярное поле | скалярное поле |
+| Gradient | градиент | ∇f | скалярное поле | векторное поле |
+| Laplacian | оператор Лапласа | ∇<sup>2</sup> f | скалярное поле | векторное поле |
+| Divergence | дивергенция | ∇· f | векторное поле | скалярное поле |
+| Curl | ротор | ∇×f | векторное поле | векторное поле |
+</div><div slide>
+==== В 2D задаче  ====
+<sxh python>
+import numpy as np
+from findiff import Gradient, Divergence, Laplacian
+import matplotlib.pyplot as plt
+#%%
+borders = [-2*np.pi, 2*np.pi, -2*np.pi, 2*np.pi]
+x = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 30)
+dx = x[1]-x[0]
+y = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 30)
+dy = y[1]-y[0]
+X, Y = np.meshgrid(x, y, indexing='ij')
+f = Y*np.sin(X) + np.cos(Y)
+#%%
+plt.imshow(f.T,  origin='lower', extent=borders)
+contours = plt.contour(X, Y, f,  origin='lower', colors = 'r')
+plt.clabel(contours, colors = 'r')
+plt.show()
+#%%
+grad = Gradient(h=[dx, dy])
+grad_f = grad(f)
+plt.imshow(f.T ,  origin='lower', extent=borders)
+plt.colorbar()
+plt.quiver(X,Y,grad_f[0],grad_f[1])
+plt.show()
+#%%
+u = np.array((X**2-Y**2, Y**2-X))
+div = Divergence(h=[dx, dy])
+div_u = div(u)
+plt.imshow(div_u.T,origin='lower', extent=borders)
+plt.colorbar()
+plt.quiver(X,Y,u[0],u[1])
+plt.show()
+</sxh>
+== Скалярная функция f и ее изолинии ==
+{{:calc:f_foo.png?400|Скалярная функция f и ее изолинии}}
+== Скалярная функция f и ее градиент ==
+{{:calc:f_grad_foo.png?400|Скалярная функция f и ее градиент}}
+== Векторная функция u и ее дивергенция ==
+{{:calc:f_div_foo.png?400|Векторная функция u и ее дивергенция}}
+</div><div slide>
+==== В 3D задаче  ====
+<sxh python>
+import numpy as np
+from findiff import Gradient, Divergence, Laplacian, Curl
+x = np.linspace(0, 10, 100)
+dx = x[1]-x[0]
+y = np.linspace(0, 10, 100)
+dy = y[1]-y[0]
+z = np.linspace(0, 10, 100)
+dz = z[1]-z[0]
+X, Y, Z = np.meshgrid(x, y, z, indexing='ij')
+f = np.sin(X) * np.cos(Y) * np.sin(Z)
+grad = Gradient(h=[dx, dy, dz])
+grad_f = grad(f)
+laplace = Laplacian(h=[dx, dy, dz])
+laplace_f = laplace(f)
+g = np.array([f, 2*f, 3*f])
+div = Divergence(h=[dx, dy, dz])
+div_g = div(g)
+curl = Curl(h=[dx, dy, dz])
+curl_g = curl(g)
+</sxh>
+</div>